Давид Бабунски е роден на 1 март 1994 година во Скопјe. Тој е македонски фудбалер кој игра на позицијата лево крило. Покрај македонското, тој поседува и шпанско државјанство. Моментално настапува за јапонскиот клуб Јокохама Ф. Маринос.
Бабунски настапувал за екипата на „Барселона Б“, за која одиграл 16 натпревари во сезоната 2014-2015. Во јуни 2015 година, италијанскиот портал „Туто меркато“ објавил дека Бабунски потпишал за „Сампдорија“. Сепак, оваа најава не се остварила и Бабунски останал во Б-екипата на „Барселона“, која го пријавила на потенцијалниот список за настап во Лигата на шампионите во сезоната 2015-2016. Во февруари 2016 година, Бабунски станал член на ФК „Црвена ѕвезда“ од Белград.
Редовен во сите младински тимови на Македонија, Бабунски го постигнал својот прв гол за тимот до 21 година на 25 мај 2012 година. Во август 2013 година бил повикан во сениорскиот состав за пријателскиот натпревар против Бугарија.